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Théorème de thalés (1999)

On donne $3$ points, $E,G$ $et$ $H$ alignés, dans cette ordre, sur une droite $(D)$ tels que :

$EG=1$ et $EH=x;x\in %TCIMACRO{\U{211d} }% %BeginExpansion \mathbb{R} %EndExpansion _{+}$

Sur une droite $\left( \Delta \right)$ passant par $E$ et distinct de $(D)$ on prend deux points $M$ et $N$ tels que $(GM)$ soit paralléle à $(HN)$ et un point $F$ tel que $(FM)$ soit paralléle à $(GN)$ .

1/ Faire la figure

2/ Montrer que $EG^{2}=EF\ast EH$

3/ Calculer $EF$ en fonction de $x$ .