Similitude directe ( 05 pts - 1998 )

Dans le plan orient $\acute{e}$ , on donne deux points distincts $O_{1}$ % et $O_{2}$ on d $\acute{e}$ signe par $r_{1}$ la rotation de centre $O_{1}$ et d’angle $\frac{\pi }{3}$ et par $r_{2}$ la rotation de centre $O_{2}$ et d’angle $\frac{2\pi }{3}$ .

Pour tout point de , on note l’image de $M_{1}$ par $r_{1}$ et $% M_{2}$ l’image de $M_{1}$ par $r_{2.}$

1) a) D $\acute{e}$ montrer que le milieu du segment $\left[ MM_{2}\right]$ est un point fixe par $r_{2}Or_{1}$

b) Construire soigneusement et prouver que est situ $\acute{e}$ sur le cercle de diam $\grave{e}$ tre $\left[ O_{1}O_{2}\right]$ .

(On prendra $O_{1}O_{2}=10cm$ )

2) Soit le projet $\acute{e}$ orthogonal de $O_{1}$ sur la droite $% (MM_{1})$ .

a) Pr $\acute{e}$ ciser les $\acute{e}$ l $\acute{e}$ ments caract $\acute{e}$ % ristiques de la similitude directe de centre $O_{1}$ qui transforme et .

b) D $\acute{e}$ montrer que $M,M_{1,}M_{2}$ sont align $\acute{e}$ s si et seulement si est situ $\acute{e}$ sur le cercle de diam $\grave{e}$ tre $% \left[ O_{1}J\right]$ .

c) En d\’eduire l’ensemble des points du plan pour lesquels $M,M_{1,}M_{2}$ sont align $\acute{e}$ s.

3) a) Exprimer $M_{1}M$ en fonction de $O_{1}M_{1}$ puis $M_{1}M_{2\text{ \ }% }$ en fonction de $O_{2}M_{2}$ .

b) O $\grave{u}$ se situe $M_{1}$ lorsque l’on a l’ $\acute{e}$ galit $\acute{e}$ $M_{1}M_{2\text{ \ }}=\sqrt{3}M_{1}M$

c) Trouver $\left( \Delta \right)$ ensemble des points du plan tels que $M_{1}M_{2\text{ \ }}=\sqrt{3}M_{1}M$

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