corrigé : calcul intégral (2008)

est définie par $g(x)=\frac{2x^{2}+x-5}{x^{2}+x-6}$
Donnons est définie si et seulement si $x^{2}+x-6\neq0$
$x^{2}+x-6=0$ si et seulement si si et seulement si ou
$Dg=\mathbb{R}\setminus \left\{-3,2 \right\}$ _ Déterminer les réels , , tels que pour tout $x \varepsilon Dg$ ; $g(x)=a+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x+3}$
$g(x)=a+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x+3}=\frac{a(x^{2}+x-6)+b(x+3)+c(x-2)}{(x-2)(x+3)}$
$g(x)=\frac{ax^{2}+(a+b+c)x+(-6a+3b-2c)}{x^{2}+x-6}$ _donc $\left\{ \begin{array}{ll} a=2 \\ a+b+c=1 \\ -6a+3b-2c=-5 \end{array} \right.$ ceci qui entraine $\left\{ \begin{array}{ll} a=2 \\ b=1 \\ c=-2 \end{array} \right.$ \\ Soit la fontion définie sur $\left[3,5\right]$ par $G(x)=2x+\ln(x-2)+\ln(x+3)$
Montrons que est une primitive de sur $\left[3,5\right]$ .
est bien définie , continue et dérivable pour tout et , en particulier sur $\left[3,5\right]$ On a donc :
- est définie sur $\left[3,5\right]$ .

$\forall x \varepsilon \left[3,5\right]$ , continue et dérivable et $G'(x)=2+\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+3}=g(x)$
ce qui entraine que est une primitive de sur $\left[3,5\right]$ .
Calculons l’intégrale $I=\int_{3}^{5}g(x)dx$

$I=\int_{3}^{5}g(x)dx=\int_{3}^{5}G'(x)dx=G(5)-G(3)$
$I=10+\ln3-2\ln8-(6+\ln1-2\ln6)$
$I=4+\ln3-6\ln2+2\ln6$

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