Corrigé : Les importations d'un pays (2008)

Les importations d’un pays se chiffrent en moyenne à milliards de francs CFA par an. le tableau suivant donne en chiffres les importations de ce pays de 2000 à 2007.
$\begin{tabular}{|p{4,5cm}|p{0.63cm}|p{0.63cm}|p{0.63cm}|p{0.63cm}|p{0.63cm}|p{0.63cm}|p{0.63cm}|p{0.63cm}|} \hline Ann\'ees & 2000 & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 & 2006 & 2007 \\ \hline Rang de l'ann\'ee x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline Montant en milliards y FCFA des importations & 907 & 1025 & 1025 & 1092 & 1095 & 1217 & k & 1469 \\ \hline \end{tabular}$
$\bar{y}=1154$
Trouvons la valeur de .
On a $\bar{y}=\frac{ \displaystyle{\sum_{i=1}^n n_{i}y_{i}}}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}n_{i}}}$
$=\frac{907+ 1025+1025+1092+1095+1217+k+1469}{8}=\frac{7830+k}{8}$
donc $k=1154\times 8-7830=1402$

On suppose que

construisons le nuage de points correspondant au tableau.

Calculons le coefficient de corrélation linéaire entre

.
On a $r= \frac{Cov(x,y)}{\sigma(x)\sigma(y)}$
$Cov(x,y)=\left(\frac{1}{n}\sum x_{i}y_{i}\right)-\bar{x}\bar{y}$ .
$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5+6+7+8}{8}$ $=\frac{9}{2}$ et $\bar{y}=1154$
On trouve

0n a $\sigma(x)=\sqrt{V(x)}$ et $V(x)=\left(\frac{1}{n}\sum x_{i}^{2}\right)-\bar{x}^{2}$ On trouve $V(x)=\frac{21}{4}$ donc $\sigma(x)=2,29$
0n a $\sigma(y)=\sqrt{V(y)}$ et $V(y)=\left(\frac{1}{n}\sum y_{i}^{2}\right)-\bar{y}^{2}$ , On trouve $\sigma(y)=182,45$
$r=\frac{399,875}{2,29 \times 182,45}=0,957$

Déterminer une équation de la droite de régression de

On a $y-\bar{y}=a(x-\bar{x})$ avec $a=\frac{Cov(x,y)}{V(x)}=\frac{399,875}{\frac{21}{4}}=76,16$
On obtient ainsi

En supposans que l’évolution se poursuit de la même manière. Estimons le montant des importations dans ce pays en 2012.
Pour 2012, on a

, donc $y=76,16\times 12+811,25\approx 1725$
Si l’évolution se poursuit de la même manière, le montant des importations dans ce pays en 2012 sera de 1725 milliards.

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