Simulitude directe et ligne polygonale (2006)

Dan le plan euclidien orienté, on considère un rectangle direct ABCD de centre O tel que et $BC=a\sqrt{3};$ où a est un réel strictement positif donné.

1) Déterminer la nature du triangle .

2) Soit E le point du segment $\left[ BD\right]$ tel que $BE=\frac{3}% {4}BD.$ Donner une construction géométrique du centre $\Omega$ de la similitude directe telle que et .

3) on suppose dans la suite que et on pose : $\vec{u}=\frac{1}% {AB}.\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\frac{1}{AD}.\overrightarrow{AD};$ on munit ensuite le plan du repère orthonormal direct $(A,\vec{u},\vec{v}),$

a) déterminer les affixes de et de .

b) En déduire lécriture complexe de l’applications.

4) Déterminer l’affixe de $\Omega$ et celle du point .

5) On considère la suite de points $M_{n}$ d’affixes $z_{n}$ définie par $M_{0}=A$ et pour tout $n\in% %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion ,$ $M_{n+1}=s(M_{n}).$

a) démontrer que la suite ( $\alpha_{n})_{n\in% %TCIMACRO{\U{2115} }% %BeginExpansion \mathbb{N} %EndExpansion }$ définie par : $\alpha_{n}=z_{n+1}-z_{n}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $\alpha_{0}$ et la raison.

b) Exprimer en fonction de n la longueur de la ligne polygonale $M_{0}% M_{1}M_{2}...M_{3n}$ et déterminer la limite de cette longueur quand n tend vers $+\infty.$

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